Final Report English

The project addressed to the problem of identification of geometric objects (obstacles, inhomogeneities, cracks) and reconstruction of its geometric and physical parameters from optimization of costs (the energy, least-square misfit of observation data, boundary measurements, far-field pattern, and alike). This is an important problem of high actual interest both from a theoretical and practical point of view. The following research was conducted in the project: (i) For forward problems related to acoustic and wave phenomena, we developed a novel approach for interpolation of variational solutions of partial differential equations based on the Petrov-Galerkin enrichment in the context of generalized finite element methods. Our investigation resulted in the numerical schemes of high precision and low costs, which are of high importance for numerical optimization purposes. (ii) The optimization approach was applied to a range of problems governed by elliptic and parabolic partial differential equations. Their specialty concerned the presence of unilateral constraints and geometric singularities like cracks, inclusions, micro-particles in a pore space. Thus, we proved well-posedness of variational solutions for multi-phase diffusion systems stemming from electrokinetics and generalized solutions of nonlinear equations arising due to implicit constitutive theories in mechanics. (iii) Related to the underlying identification problems, the cost functions were investigated for its shape-topological sensitivity when varying geometric and physical variables. Forced by unilateral constraints, a class of geometry-dependent Lagrangians was analyzed with respect to the property of shape differentiability. For these purposes we extended the asymptotic methods of shape and topology perturbations, periodic homogenization, by endowing them with variational techniques. (iv) We investigated the object imaging in inverse problems for sensitivity and stability properties. With the help of imaging functions derived from the shape-topological analysis and zero-order (derivative-free) optimality conditions we brought the problems in a form suitable for robust and highly accurate computation with respect to discretization, varying and noisy data, which was demonstrated in numerical tests of identification of the geometric objects. All these results were supported by rigorous a-priori and residual error estimates. We stress that the issues (i)-(iv) were broader than just for the underlying forward and inverse problems. The overall results obtained under the project advanced our understanding important for the theory of forward and inverse problems, overdetermined and free-boundary problems, shape-topological control, nonlinear and numerical optimization; as well as for destructive and non-destructive testing, acoustic scattering, with transdisciplinary applications in engineering and biomedical sciences. During the 5-year project period (1.4.2014-31.3.2019) one PhD thesis was completed, we report on 26 publications (more 7 are submitted or in preparation), editing 1 book, participation in 68 meetings (39 presentations, 5 plenary, 6 co-organizations), 25 outcome (9 invited lectures) and 7 income visits.

Final Report German

Probleme der Identifikation von Objekten: Numerik (PION).

Die Aufgabe des Projektes bestand in der Identifikation sowie Rekonstruktion geometrischer und physikalischer Eigenschaften von unbekannten Objekten (z.B. Hindernisse, Inhomogenitäten, Risse) basierend auf Optimierungsmethoden, z.B. durch Energieminimierung oder durch Minimierung der kleinsten Fehlerquadrate bezüglich Messungen am Rand bzw. im Fernfeld. Die Fragestellung ist aus Sicht der Theorie und Praxis wichtig und aktuell. Sie findet Verwendung bei zerstörenden und auch zerstörungsfreien Prüfverfahren in zahlreichen Ingenieurbereichen. Aus diesen Gründen wurden im Projekt die folgenden Studien durchgeführt: (i) Zur Lösung von direkten Problemen z.B. in der Akustik wurde eine neue und effiziente verallgemeinerte finite Elemente Methode entwickelt. Diese Methode ist ein Petrov-Galerkin Verfahren, dessen numerische Auflösung durch Anreicherung des Testraumes signifikant erhöht wurde. (ii) Es wurden zahlreiche Variationsprobleme mit Nebenbedingungen, die zu parabolischen und elliptischen Problemen verwandt sind, auf Existenz untersucht. Insbesondere, eine Klasse von Diffusionsmodellen aus dem Bereich des elektrokinetischen Transport in mehrphasigen Systemen wurden betrachtet. Weiter wurde die Existenz von verallgemeinerten Lösungen von impliziten konstitutiven Gleichungen für nichtlineare Elastizitätsmodelle mit Rissen bewiesen. (iii) Im Themenbereich der Topologieoptimierung wurden Bildfunktionen derart konstruiert, dass mit deren Hilfe geometrische Objekte beliebiger Form dargestellt werden können. Die dazugehörige Klasse geometrieabhängiger Lagrange-Funktionen wurde auf Form-Differenzierbarkeit untersucht. Unser Konzept basierte auf Variationstechniken in Kombination mit singulärer asymptotischer Analysis sowie Homogenisierung. (iv) Für inverse Probleme wurden hochauflösende Identifikationsalgorithmen entworfen, die oben genannten Bildfunktionen verwenden. Die Algorithmen sind stabil gegenüber der Diskretisierung der Formvariablen und gegenüber verrauschten Daten. Zur Konstruktion der Algorithmen wurden gradientenfreie Optimalitätsbedingungen aus der Form- bzw. Topologieoptimierung und die Level-Set-Methode verwendet. Zur Untermauerung der theoretischen Ergebnisse wurden zahlreiche numerische Studien durchgeführt. Wir merken an, dass die erzielten Resultate allgemeiner verwendet werden können als für die Fragestellungen (i)-(iv). Mit Hilfe des Projektes wurden relevante Aufgaben in der nichtlinearen und numerischen Optimierung, in der Form- und Topologieoptimierung, sowie in der Theorie von überbestimmten Problemen und Problemen mit freiem Rand bearbeitet. Diese Aufgaben sind mit wichtigen Anwendungen in den Ingenieur- und biomedizinischen Wissenschaften verbunden. Innerhalb der 5-jährige Projektlaufzeit (1.4.2014-31.3.2019) wurden die folgende akademische Leistungen erbracht: eine Doktorarbeit, 26 referierte Publikationen (weitere 7 sind eingereicht oder in Vorbereitung), 1 Buchredaktion, Teilnahme an 68 Konferenzen (mit 39 Vorträge, davon 5 Plenar-, 6 Mitorganisationen), 25 ausgehende (mit 9 Vorträge auf Einladung) und 7 eingehende Mobilität.