Abstract English

We aim at the problem of identification of geometric objects (defects, obstacles, scatterers) and reconstruction of its geometric and physical parameters from boundary measurements. This is an important problem of high actual interest both from a theoretical and practical point of view. Object identification has numerous applications in the engineering and biomedical sciences in the context of non-destructive testing with acoustic, elastic, electromagnetic waves.
From a mathematical point of view, object identification is an inverse problem, which belongs to the field of shape and topology optimization. We consider arbitrary shapes and on a-priori unknown boundary conditions of the test objects. This is certainly a challenging task in the framework of forward and inverse problems. In the proposal we focus primarily on its numerical issues within an optimization context.
In a broad scope, our goals in the project are split into core parts as follows:
1. For forward problems related to acoustic and wave phenomena we aim to get highly accurate interpolation of the variational solution within generalized finite elements. For this task we will elaborate quasilinear methods based on a Petrov-Galerkin enrichment.
2. We aim at topological sensitivity (topological derivatives) of objective functions with respect to geometric variables of test objects of arbitrary shapes and unknown boundary conditions. For this purpose we will utilize asymptotic methods of singular perturbation theory endowed with variational techniques.
3. For inverse problems, we aim to obtain high resolution properties of the object reconstruction and imaging with respect to discretization, varying and noisy data. This difficult task will be approached by means of optimality conditions based imaging functions and using the geometric concept of level sets.
All our results in the project will be supported by rigorous estimates and numerical experiments. As the result we shall derive efficient numerical algorithms for use in inverse scattering, tomography, and other potential industrial applications.

Abstract German

Probleme der Identifikation von Objekten: Numerik (PION).

Die Aufgabe besteht in der Identifikation sowie Rekonstruktion geometrischer und physikalischer Eigenschaften von unbekannten geometrischen Objekten unter der Benutzung von Randmessungen. Dies findet Verwendung bei zestoerungsfreien Pruefverfahren in zahlreichen Wissenschaftsbereichen, die aus Sicht von Theorie sowie Praxis hoechst wichtig und aktuell sind. Dieser mathematische Aspekt gehoert auch in den Bereich der inversen Probleme und der Form- bzw. Topologieoptimierung.
Aus physikalischen Gruenden, muss die Form sowie die Randbedingungen des Pruefobjektes a-priori als unbekannt betrachtet werden. Dies erfordert geeignete Variationstechniken, welche eine Hauptrolle in der Beschreibung des beliebigen Objekts spielen. Das aktuelle Projekt fokussiert auf die Konstruktion und Analyse effektiver numerischen Werkzeuge zur Loesung der Aufgabe der Identifikation von Objekten.
Aus diesen Gruenden sind Untersuchungen in folgende Richtungen geplant:
1. Im Themenbereich von direkten Problemen unter Beruecksichtigung der Akustik und Wellenphaenomene besteht unser Ziel in hochaufloesender numerische Interpolation des zugehoerigen variationellen Loesung mit verallgemeinerten finiten Elementen. Zu diesem Zweck dient insbesondere die quasilineare Approximation basierend auf der Anreicherung von Testfunktionen nach der Petrov-Galerkin Methode.
2. Im Themenbereich von Topologieoptimierung besteht unser Ziel in der Modellierung geeigneter Bildfunktionen, welche einem Pruefobjekt beliebiger Form und Randbedingung entsprechen. Unser Konzept basiert auf einer Kombination aus Variationstechniken und verallgemeinerter asymptotischer Analyse bezueglich der Formvariablen im Rahmen der Theorie singulaerer Stoerungen.
3. Im Themenbereich von inversen Problemen besteht unser Hauptziel in der Konstruktion von Identifikationsalgorithmen mit hoher Aufloesung und Stabilitaet obiger Bildfunktionen. Um dies zu erreichen, ist die numerische Analyse vorgesehen, wobei die Benutzung der Optimalitaetsbedingungen, sowie das Level-Set-Methodenkonzept, eine wichtige Rolle spielen.
Das geplante Projekt hat die Entwicklung numerischer Algorithmen unter Beruecksichtigung der mathematischen Modelle aus den Bereichen Technik und Biomedizin (z.B. inverse Streuung , Tomografie) zum Ziel. Fehlerabschaetzungen und numerische Experimente sind vorgesehen, um unsere theoretischen Untersuchungen zu unterstuetzen.